標題：【數學基礎】一元二次方程
日期：2022-02-14 10:23:14
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- 數學
標籤： - 數學
- 基礎
- 一元二次方程
一元二次方程#
只含有一個未知數（一元），並且未知數項的最高次數是 2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程經過整理都可化成一般形式 ax² + bx + c = 0（a≠0）。
- 二次項：ax²
- 二次項係數：a
- 一次項：bx
- 一次項係數：b
- 常數項：c
公式（必須記住）#
(a + b)(a - b) = a² - b²- 完全平方和：
(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b² - 完全平方差：
(a - b)(a - b) = a² - 2ab + b² - 求根公式：
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a - 1² ... 20² 全部背下來
平方差公式#
完全平方公式的結構特徵：
- 左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二項式中兩項的平方和，加上或減去這兩項乘積的 2 倍；
- 左邊兩項符號相同時，右邊各項全用
+號連接；左邊兩項符號相反時，右邊平方項用+號連接後再-兩項乘積的 2 倍（注：這裡說項時未包括其符號在內）； - 公式中的字母可以表示具體的數（正數或負數），也可以表示單項式或多項式等數學式。
(a + b)(a - b) = a² - b²。
找出 (x + 2)(x - 2) = 0 中的 a，b，c。
x * (x - 2)+2 * (x - 2)- 得到
x² - 2x + 2x - 4 - 化簡
x² - 4 - 逆推
(a + b)(a - b) = a² - b² - 結果
a = 1, b = 4, c = -4
完全平方和#
(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b² 叫做兩數和的完全平方公式。
找出 (x + 2)(x + 2) = 0 中的 a，b，c。
x * (x + 2)+2 * (x + 2)- 得到
x² + 2x + 2x + 4 - 化簡
x² + 4x + 4 - 逆推
(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b² - 結果
a = 1, b = 4, c = 4
完全平方差#
(a - b)(a - b) = a² - 2ab + b² 叫做兩數差的完全平方公式。
找出 (x - 2)(x - 2) = 0 中的 a，b，c。
x * (x - 2)+-2 * (x - 2)- 得到
x² - 2x - 2x + 4 - 化簡
x² - 4x + 4 - 逆推
(a - b)(a - b) = a² - 2ab + b² - 結果
a = 1, b = -4, c = 4
求解#
解一元二次方程：x 等於多少的時候方程等於 0。
- 判斷是否有解，根據判別式
Δ = b² - 4ac - Δ > 0，有兩個實數解（一般是一正一負）；
- Δ = 0，有一個解；
- Δ < 0，無實數解。
- 解方程的求根公式：
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
求出方程 2x² + 5x - 3 = 0 的實數解。
解：由題幹得知 a = 2，b = 5，c = -3。
套用判別式得到 Δ = 25 - 4 * 2 * (-3) = 25 - 8 * (-3) = 25 - (-24) = 25 + 24 = 49。
套用求根公式得到：x = (-5 + √49) / 2 * 2 = (-5 + 7) / 4 = 1 / 2 和 x = (-5 - √49) / 2 * 2 = (-5 - 7) / 4 = -3
高級解法・逆向思維#
求出方程 (x - 2)(1 - 3x) = 0 的實數解。
套用求根公式可以計算出結果為 1/3 和 2，但是我們注意觀察，兩數相乘等於 0，說明 (x - 2) 或 (1 - 3x) 等於 0。
只需要計算出對應的 x 就能得到結果 1/3 和 2。
合理利用該解法，還可以解出一些高次方程：
求出方程 x³ - 4x = 0 的實根（根即解）。
化簡方程為：x (x² - 4) = 0，可以得到 x = 0 和 (x² - 4) = 0。
當 x² = 4，即 x = ±2。
所以結果為 x₁ = 0，x₂ = 2 和 x₃ = -2。
平方數表#
1 至 20 的平方記憶有什麼規律#
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400，你看這一串數字，1 與 4 差 3，4 與 9 差 5，9 與 16 差 7，16 與 25 差 9。
也就是說，這些數字的之間是一個從三開始的質數差。
因此你可以記住 5 的平方，10 的平方，15 的平方這幾個特殊的數字與各自的後一位數的平方之差，這樣你就可以很快找到下一個數字是多少了！
比方說問你 14 的平方是多少？我們知道 15 的平方是 225，與後一位數之差是 31，與前一位數之差是 29，那麼我們可知道 14 的平方就是 225 - 29 = 196。
這樣我們就很容易記住了！
平方公式口訣有哪些#
平方差公式#
兩數和乘兩數差，等於兩數平方差。
積化和差變兩項，完全平方不是它。
完全平方公式#
二數和或差平方，展開式它共三項。
首平方與末平方，首末二倍中間放。
和的平方加聯結，先減後加差平方。
完全平方公式#
首平方又末平方，二倍首末在中央。
和的平方加再加，先減後加差平方。
一元二次方程根與係數的關係#
韋達定理#
x₁ + x₂ = -(b / a)
x₁ * x₂ = c / a
用於判斷一元二次方程的兩個實數解是否正確，應用韋達定理的前提是：b² - 4ac ≥ 0。
我們可以利用韋達定理的公式和已知公式組成方程組，組出來的就是 二元一次方程組（兩個未知數，一次方）。