title: 【数学基础】一元二次方程
date: 2022-02-14 10:23:14
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- 数学
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- 基础
- 一元二次方程
一元二次方程#
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是 2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式 ax² + bx + c = 0（a≠0）。
- 二次项: ax²
- 二次项系数: a
- 一次项: bx
- 一次项系数: b
- 常数项: c
公式（必须记住）#
(a + b)(a - b) = a² - b²- 完全平方和:
(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b² - 完全平方差:
(a - b)(a - b) = a² - 2ab + b² - 求根公式: ``x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a`
- 1² ... 20² 全部背下来
平方差公式#
完全平方公式的结构特征：
- 左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的 2 倍；
- 左边两项符号相同时，右边各项全用
+号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用+号连接后再-两项乘积的 2 倍（注：这里说项时未包括其符号在内）； - 公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。
(a + b)(a - b) = a² - b²。
找出 (x + 2)(x - 2) = 0 中的 a，b，c。
x * (x - 2)+2 * (x - 2)- 得到
x² - 2x + 2x - 4 - 化简
x² - 4 - 逆推
(a + b)(a - b) = a² - b² - 结果
a = 1, b = 4, c = -4
完全平方和#
(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b² 叫做两数和的完全平方公式。
找出 (x + 2)(x + 2) = 0 中的 a，b，c。
x * (x + 2)+2 * (x + 2)- 得到
x² + 2x + 2x + 4 - 化简
x² + 4x + 4 - 逆推
(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b² - 结果
a = 1, b = 4, c = 4
完全平方差#
(a - b)(a - b) = a² - 2ab + b² 叫做两数差的完全平方公式。
找出 (x - 2)(x - 2) = 0 中的 a，b，c。
x * (x - 2)+-2 * (x - 2)- 得到
x² - 2x - 2x + 4 - 化简
x² - 4x + 4 - 逆推
(a - b)(a - b) = a² - 2ab + b² - 结果
a = 1, b = -4, c = 4
求解#
解一元二次方程：x 等于多少的时候方程等于 0。
- 判断是否有解，根据判别式
Δ = b² - 4ac - Δ > 0，有两个实数解（一般是一正一负）；
- Δ = 0，有一个解；
- Δ < 0，无实数解。
- 解方程的求根公式：
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
求出方程 2x² + 5x - 3 = 0 的实数解。
解：由题干得知 a = 2，b = 5，c = -3。
套用判别式得到 Δ = 25 - 4 * 2 * (-3) = 25 - 8 * (-3) = 25 - (-24) = 25 + 24 = 49。
套用求根公式得到：x = (-5 + √49) / 2 * 2 = (-5 + 7) / 4 = 1 / 2 和 x = (-5 - √49) / 2 * 2 = (-5 - 7) / 4 = -3
高级解法・逆向思维#
求出方程 (x - 2)(1 - 3x) = 0 的实数解。
套用求根公式可以计算出结果为 1/3 和 2，但是我们注意观察，两数相乘等于 0，说明 (x - 2) 或 (1 - 3x) 等于 0。
只需要计算出对应的 x 就能得到结果 1/3 和 2。
合理利用该解法，还可以解出一些高次方程：
求出方程 x³ - 4x = 0 的实根（根即解）。
化简方程为：x (x² - 4) = 0，可以得到 x = 0 和 (x² - 4) = 0。
当 x² = 4，即 x = ±2。
所以结果为 x₁ = 0，x₂ = 2 和 x₃ = -2。
平方数表#
1 至 20 的平方记忆有什么规律#
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400，你看这一串数字，1 与 4 差 3，4 与 9 差 5，9 与 16 差 7，16 与 25 差 9。
也就是说，这些数字的之间是一个从三开始的质数差。
因此你可以记住 5 的平方，10 的平方，15 的平方这几个特殊的数字与各自的后一位数的平方之差，这样你就可以很快找到下一个数字是多少了！
比方说问你 14 的平方是多少？我们知道 15 的平方是 225，与后一位数之差是 31，与前一位数之差是 29，那么我们可知道 14 的平方就是 225 - 29 = 196。
这样我们就很容易记住了！
平方公式口诀有哪些#
平方差公式#
两数和乘两数差，等于两数平方差。
积化和差变两项，完全平方不是它。
完全平方公式#
二数和或差平方，展开式它共三项。
首平方与末平方，首末二倍中间放。
和的平方加联结，先减后加差平方。
完全平方公式#
首平方又末平方，二倍首末在中央。
和的平方加再加，先减后加差平方。
一元二次方程根与系数的关系#
韦达定理#
x₁ + x₂ = -(b / a)
x₁ * x₂ = c / a
用于判断一元二次方程的两个实数解是否正确，应用韦达定理的前提是：b² - 4ac ≥ 0。
我们可以利用韦达定理的公式和已知公式组成方程组，组出来的就是 二元一次方程组（两个未知数，一次方）。