【数学基礎】一次方程式

title: 【数学基礎】一元二次方程
date: 2022-02-14 10:23:14
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数学
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数学
基礎
一元二次方程

一元二次方程#

一元二次方程は、1 つの未知数（一元）を含み、未知数の最高次数が 2（二次）の整式方程式です。一元二次方程式は整理すると一般形式 ax² + bx + c = 0（a≠0）に変形できます。

二次項: ax²
- 二次項の係数: a
一次項: bx
- 一次項の係数: b
定数項: c

公式（覚えておく必要があるもの）#

(a + b)(a - b) = a² - b²
完全平方和: (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²
完全平方差: (a - b)(a - b) = a² - 2ab + b²
解の公式: ``x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a`
1² ... 20² を全て覚える

平方差公式#

完全平方公式の特徴：

左辺は 2 つの同じ 2 項式の積であり、右辺は 2 項式で、左辺の 2 項の平方和に、それらの 2 項の積の 2 倍を加えたものまたは引いたものです。
左辺の 2 項の符号が同じ場合、右辺の各項はすべて + で結ばれます。左辺の 2 項の符号が異なる場合、右辺の平方項は + で結ばれ、その後に 2 項の積の 2 倍が引かれます（注：ここでの項は符号を含みません）。
公式中の文字は具体的な数（正数または負数）を表すこともできますし、単項式や多項式などの数式を表すこともできます。

(a + b)(a - b) = a² - b²。

(x + 2)(x - 2) = 0 の中の a、b、c を求めます。

x * (x - 2) + 2 * (x - 2)
x² - 2x + 2x - 4 を得る
x² - 4 に簡略化する
逆推して (a + b)(a - b) = a² - b² を得る
結果は a = 1、b = 4、c = -4

完全平方和#

(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b² は二つの数の和の完全平方公式と呼ばれます。

(x + 2)(x + 2) = 0 の中の a、b、c を求めます。

x * (x + 2) + 2 * (x + 2)
x² + 2x + 2x + 4 を得る
x² + 4x + 4 に簡略化する
逆推して (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b² を得る
結果は a = 1、b = 4、c = 4

完全平方差#

(a - b)(a - b) = a² - 2ab + b² は二つの数の差の完全平方公式と呼ばれます。

(x - 2)(x - 2) = 0 の中の a、b、c を求めます。

x * (x - 2) + -2 * (x - 2)
x² - 2x - 2x + 4 を得る
x² - 4x + 4 に簡略化する
逆推して (a - b)(a - b) = a² - 2ab + b² を得る
結果は a = 1、b = -4、c = 4

解の求め方#

一元二次方程式の解を求めるには、方程式が 0 になるときの x の値を求めます。

解が存在するかどうかを判断するために、判別式 Δ = b² - 4ac を使用します。
Δ > 0 の場合、2 つの実数解が存在します（通常、1 つは正の解、もう 1 つは負の解）。
Δ = 0 の場合、1 つの解が存在します。
Δ < 0 の場合、実数解は存在しません。
方程式の解の求根公式を使用します：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

方程式 2x² + 5x - 3 = 0 の実数解を求めます。

解：与えられた問題から、a = 2、b = 5、c = -3 となります。

判別式を使用して Δ = 25 - 4 * 2 * (-3) = 25 - 8 * (-3) = 25 - (-24) = 25 + 24 = 49 を得ます。

求根公式を使用して、x = (-5 + √49) / 2 * 2 = (-5 + 7) / 4 = 1 / 2 および x = (-5 - √49) / 2 * 2 = (-5 - 7) / 4 = -3 を得ます。

高度な解法・逆思考#

方程式 (x - 2)(1 - 3x) = 0 の実数解を求めます。

求根公式を使用すると、結果は 1/3 と 2 になりますが、私たちは観察に注意を払います。2 つの数の積が 0 に等しいということは、(x - 2) または (1 - 3x) が 0 であることを意味します。

対応する x を計算するだけで、結果の 1/3 と 2 を得ることができます。

この解法を適切に利用すると、高次方程式を解くこともできます。

方程式 x³ - 4x = 0 の実数解を求めます。

方程式を簡略化すると：x (x² - 4) = 0 となり、x = 0 および (x² - 4) = 0 を得ます。

x² = 4 の場合、つまり x = ±2 の場合、解が得られます。

したがって、結果は x₁ = 0、x₂ = 2、x₃ = -2 です。

平方数表#

1 から 20 までの平方数の規則性#

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400 という数列を見てみましょう。1 と 4 の差は 3、4 と 9 の差は 5、9 と 16 の差は 7、16 と 25 の差は 9 です。

つまり、これらの数字の間には 3 から始まる素数の差があります。

したがって、5 の 2 乗、10 の 2 乗、15 の 2 乗など、特定の数字とその次の数字の 2 乗の差を覚えることで、次の数字を素早く求めることができます。

たとえば、14 の 2 乗を求める場合、15 の 2 乗が 225 であり、次の数字との差が 31、前の数字との差が 29 であることを知っていれば、14 の 2 乗は 225 - 29 = 196 であることがわかります。

これにより、簡単に覚えることができます！

平方公式の覚え方#

平方差公式#

二つの数の和を二つの数の差で掛けると、二つの数の差の二乗になります。

積を和と差に変換し、完全平方ではありません。

完全平方公式#

二つの数の和または差の二乗は、展開すると三つの項になります。

最初の平方と最後の平方の間に、最初と最後の数の 2 倍が中央に配置されます。

和の平方に連結し、最初に引いてから足す差の平方です。

完全平方公式#

最初の平方と最後の平方、最初と最後の数の 2 倍が中央に配置されます。

和の平方に加えて、最初に引いてから足す差の平方です。

一元二次方程式の解と係数の関係#

ヴィエータの定理#

x₁ + x₂ = -(b / a)

x₁ * x₂ = c / a

一元二次方程式の 2 つの実数解が正しいかどうかを判断するために使用されます。ヴィエータの定理を適用するための前提条件は、b² - 4ac ≥ 0 です。

ヴィエータの定理の公式と既知の公式を組み合わせて、方程式の組を作成すると、二元一次方程式（2つの未知数、1次方） が得られます。