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標題：【數學基礎】二元一次方程
日期：2022-02-15 14:23:14
目錄：是
類別：

• 數學
  標籤：
• 數學
• 基礎
• 二元一次方程

二元一次方程組#

含有兩個未知數（二元），並且未知數項的最高次數是 1（一次）的整式方程叫做二元一次方程。多個方程構成的組合叫方程組。

一般長這樣：

方程組 1: a₁x + b₁y = c₁

方程組 2: a₂x + b₂y = c₂

實際列舉：

方程組 1: 3x + 4y = 7

方程組 2: 4x + 6y = 9

其中 a₁,a₂,b₁,b₂,c₁,c₂ 都是常數項

求解#

判斷是否有解#

• a₁/a₂ ≠ b₁/b₂，有且僅有唯一解
• a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂，無解
• a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂，有無窮多解

解方程#

1. 代入消元法
2. 加減消元法

帶入消元法#

通過代換某一個未知數，使某一個等式化簡成只有一個未知數的等式。

解出下列方程組的實數解：

方程組 1: x + y = 3

方程組 2: x / y = 5

1. 方程組 1 化簡為 x = 3 - y
2. 將化簡後的方程組 1 帶入到方程組 2 中，得到 (3 - y) / y = 5
3. 3 - y = 5y
4. y = 1 / 2
5. 當 y = 1 / 2 時，將 y 的值帶入到未簡化的方程組 1 中，得到 x + (1 / 2) = 3
6. x + (1 / 2) = 6 / 2
7. x = 5 / 2

加減消元法#

將方程組看作整體，即無論幾個方程組，都可以理解為 A = B。

方程組 1: 2x + y = 7，可以看作 A = B

方程組 2: 4x - 2y = 6，同理也可以看作 A = B

要通過整體的加減乘除運算，消去其中的一個未知數，使等式只有一個未知數。

1. 方程組 1 * 2，得到 4x + 2y = 14
2. 方程組 2 - 方程組 1，(4x - 2y) - (4x + 2y) = 6 - 14
3. 4x - 2y - 4x - 2y = -8
4. -4y = -8
5. y = 2
6. 將 y = 2 帶入方程組 2，4x - 2 * 2 = 6，得到 4x - 10 = 0
7. x = 5 / 2

技巧#

一般兩個方程組都是未知項的常數項為整數的情況推薦使用 加減消元法，常數項為分數推薦使用 代入消元法。

並且先消除哪個未知項不是固定的，且解題後建議帶入方程組進行反推，因為有可能中途的紕漏導致答案錯誤，在反推過程才能夠發現並解決。

雞、兔共 35 只，共 94 條腿，求雞兔各幾只？

解：由題意得知下列方程組：

方程組 1: x + y = 35

方程組 2: 2x + 4y = 94

1. 方程組 1 * 2，得到 2x + 2y = 70
2. 方程組 2 - 方程組 1，得到 (2x + 4y) - (2x + 2y) = 94 - 70
3. 2x + 4y - 2x - 2y = 24
4. 2y = 24
5. y = 12
6. ∵(因為) y = 12 帶入方程組 1，∴(所以) 得到：x + 12 = 35
7. x = 35 - 12，x = 23

方程組 1: x + 2y = 4

方程組 2: 2x + ay = 2a

若方程組有無窮多解，求 a 的值？當 a = 6 時，求方程組的解。

解：

套用判別式 a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂，得到：1/2 = 2/a = 4/2a，解出 a = 4。

a = 6 時，原方程組為：

方程組 1: x + 2y = 4

方程組 2: 2x + 6y = 12

1. 使用加減消元法，使方程組 1 * 2，得到 2x + 4y = 8
2. 方程組 2 - 方程組 1，得到 2x + 6y - (2x + 4y) = 12 - 8
3. 2x + 6y - 2x - 4y = 4
4. 2y = 4
5. y = 2
6. 將 y = 2 帶入方程組 1，得到 x = 0。