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title: 【数学基础】二元一次方程
date: 2022-02-15 14:23:14
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• 数学
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• 数学
• 基础
• 二元一次方程

二元一次方程组#

含有两个未知数（二元），并且未知数项的最高次数是 1（一次）的整式方程叫做二元一次方程。多个方程构成的组合叫方程组。

一般长这样：

方程组 1: a₁x + b₁y = c₁

方程组 2: a₂x + b₂y = c₂

实际列举：

方程组 1: 3x + 4y = 7

方程组 2: 4x + 6y = 9

其中 a₁,a₂,b₁,b₂,c₁,c₂ 都是常数项

求解#

判断是否有解#

• a₁/a₂ ≠ b₁/b₂，有且仅有唯一解
• a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂，无解
• a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂，有无穷多解

解方程#

1. 代入消元法
2. 加减消元法

带入消元法#

通过代换某一个未知数，使某一个等式化简成只有一个未知数的等式。

解出下列方程组的实数解：

方程组 1: x + y = 3

方程组 2: x / y = 5

1. 方程组 1 化简为 x = 3 - y
2. 将化简后的方程组 1 带入到方程组 2 中，得到 (3 - y) / y = 5
3. 3 - y = 5y
4. y = 1 / 2
5. 当 y = 1 / 2 时，将 y 的值带入到未简化的方程组 1 中，得到 x + (1 / 2) = 3
6. x + (1 / 2) = 6 / 2
7. x = 5 / 2

加减消元法#

将方程组看作整体，即无论几个方程组，都可以理解为 A = B。

方程组 1: 2x + y = 7，可以看作 A = B

方程组 2: 4x - 2y = 6，同理也可以看作 A = B

要通过整体的加减乘除运算，消去其中的一个未知数，使等式只有一个未知数。

1. 方程组 1 * 2，得到 4x + 2y = 14
2. 方程组 2 - 方程组 1，(4x - 2y) - (4x + 2y) = 6 - 14
3. 4x - 2y - 4x - 2y = -8
4. -4y = -8
5. y = 2
6. 将 y = 2 带入方程组 2，4x - 2 * 2 = 6，得到 4x - 10 = 0
7. x = 5 / 2

技巧#

一般两个方程组都是未知项的常数项为整数的情况推荐使用 加减消元法，常数项为分数推荐使用 代入消元法。

并且先消除哪个未知项不是固定的，且解题后建议带入方程组进行反推，因为有可能中途的纰漏导致答案错误，在反推过程才能够发现并解决。

鸡、兔共 35 只，共 94 条腿，求鸡兔各几只？

解：由题意得知下列方程组：

方程组 1: x + y = 35

方程组 2: 2x + 4y = 94

1. 方程组 1 * 2，得到 2x + 2y = 70
2. 方程组 2 - 方程组 1，得到 (2x + 4y) - (2x + 2y) = 94 - 70
3. 2x + 4y - 2x - 2y = 24
4. 2y = 24
5. y = 12
6. ∵(因为) y = 12 带入方程组 1，∴(所以) 得到：x + 12 = 35
7. x = 35 - 12，x = 23

方程组 1: x + 2y = 4

方程组 2: 2x + ay = 2a

若方程组有无穷多解，求 a 的值？当 a = 6 时，求方程组的解。

解：

套用判别式 a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂，得到：1/2 = 2/a = 4/2a，解出 a = 4。

a = 6 时，原方程组为：

方程组 1: x + 2y = 4

方程组 2: 2x + 6y = 12

1. 使用加减消元法，使方程组 1 * 2，得到 2x + 4y = 8
2. 方程组 2 - 方程组 1，得到 2x + 6y - (2x + 4y) = 12 - 8
3. 2x + 6y - 2x - 4y = 4
4. 2y = 4
5. y = 2
6. 将 y = 2 带入方程组 1，得到 x = 0。